Qual è l’importanza delle cifre significative?
Non esistono misure senza incertezza.
Commetteremo sempre un errore nel misurare,
però possiamo “appiattirlo” con vari accorgimenti.
Non possiamo misurare con esattezza, ma possiamo conoscere esattamente di quanto sbagliamo.
LE CIFRE SIGNIFICATIVE – Arrotondamento
Supponiamo di avere 1,01 e 1,16. Qualunque siano
le loro unità di misura, le due cifre possono essere arrotondate una per difetto, e l’altra per eccesso,
diventando 1,00 e 1,2: avremo così le nuove cifre significative: quelle esatte (1,00 e 1,2)e la quelle approssimate (1,00 e 1,2).
L’arrotondamento dipende molto dalla coerenza
delle altre misure e dalla precisione che serve in
quel caso specifico, per cui l’ho bonariamente
liquidato con la regola che il “4 scende ed il 6 sale”.
Ad esempio, 1,4 diventa 1 e 1,6 diventa 2
Facciamo un altro esempio. Supponiamo di aver
misurato due volte un dato fenomeno, e di aver
riscontrato due valori: 1,2451 e 1,2453.
Tralasciando l’unità di misura, abbiamo cinque
cifre significative esatte per le singole misurazioni,
ma non esatte per la misurazione oggettiva del
fenomeno, allora, ne facciamo la media:
\Large \begin{matrix} \frac{1,2451+1,2453}{2}=\\ \\ =1,2452 \end{matrix}
Abbiamo ora quattro cifre significative esatte
(1,2452) che accomunano tutte le misurazioni
(in questo caso solo due) ed una cifra significativa approssimata (1,2452).
LE CIFRE SIGNIFICATIVE – La media
Pesiamo una busta di frutta 5 volte annotandoci
i 5 valori espressi in chili e separati dal trattino:
\large \begin{matrix} 3,0-3,1-3,11\\ 2,97-2,99 \end{matrix}
Ogni misura ha due cifre significative esatte,
ma qual è il peso “meno sbagliato” della busta?
Occorre fare la media:
\large \!\!\!\!\!\!\!\!\!\begin{matrix} \frac{3,0+3,1+3,11+2,97+2,99}{5}=\\ \\ =3,034 \end{matrix}
Quella eseguita è la media aritmetica \frac{\sum N valori}{N misurazioni}
Tale media è sempre il baricentro perfetto fra il valore minimo ed il valore massimo (in questo caso 2,99 e 3,11). Ossia, ha la stessa distanza fra entrambi i valori.
Esiste un altro tipo di media. Ad esempio, senza
entrare nel dettaglio, può essere utile usare una
formula “più rapida” quando i valori sono molto
“stretti” alla media aritmetica, o c’è una moda
molto elevata (lo stesso valore ripetuto) che è \frac{Vmax + Vmin}{2}
VALORI “STRETTI” ALLA MEDIA
Pesando un oggetto 5 volte si sono ottenuti i
seguenti valori espressi in chili e separati dal trattino:
\begin{matrix} \textbf{1,00}298-\textbf{1,00}299-\\ \textbf{1,00}3-\textbf{1,00}301-\\ \textbf{1,00}302 \end{matrix}
(tutti con tre cifre significative in comune, e due valori
estremi molto vicini)
\Large \!\!\!\!\!\!\!\begin{matrix} \frac{1,00302+1,00298}{2}\\ \\ =\textbf{1,003} \end{matrix}
\small \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\begin{matrix} \frac{1,00298 + 1,00299 + 1,003 + 1,00301 + 1,00302}{5}=\\ \\ =\textbf{1,003} \end{matrix}
Il risultato dà il baricentro perfetto.
Infatti:
\small \!\!\!\!\!\!\!\!\!\begin{matrix} 1,003 + \textbf{0,0001} = 1,00298\\ 1,003 - \textbf{0,0001} = 1,00302 \end{matrix}
0,0001 si chiama errore assoluto:
ciò che sottratto alla media dà il Vmin
e aggiunto alla stessa il VMAX.
TANTI DATI, MA POCHI VALORI
Viene misurata la temperatura dell’acciaio
incandescente sei volte ottenendo le seguenti
misure separate dal trattino:
\begin{matrix} 524°-524°-524°\\ 527°-527°-527°\\ Moda(524) = 3\\ Moda(527) = 3 \end{matrix}
Inutile fare la media su tutti i valori, tanto
le misure distinte sono solo due: 524° e 527°.
La media sarà:
\large \begin{matrix} \frac{524°+ 527°}{2}=525,5° \end{matrix}
Provando comunque ad inserire
tutti i valori, il risultato sarà il
medesimo:
\small \!\!\!\!\!\!\!\!\!\begin{matrix} \frac{524°+524°+524°+527°+527°+527°}{6}=\\ 525,5° \end{matrix}
baricentro perfetto
525,5 + 1,5 = 527°;
525,5 – 1,5 = 524°
Le cifre significative si contano da sinistra
a destra, indipendentemente dalla virgola:
1,30 sono tre cifre significative (due esatte
ed una approssimata) A sinistra della virgola,
gli zeri non sono cifre significative, quindi:
0,13 e 0,013 hanno entrambi “1” e “3” come cifre significative, cioè due cifre.
Si provi a vederli in questo modo: 1,3 ·10-1 e
1,3 ·10-2 si vedano i dieci come le cifre non
significative.
Un altro motivo per usare scorciatoie è quando
alcune misure non sono “affidabili”, cioè discostano
molto dalle misure effettuate, ad esempio:
1,10 kg 1,14 kg “2,0 kg” 1,139 kg
Abbiamo un valore che sarà stato vittima di
qualche errore grossolano, e quindi non lo contiamo:
\Large \begin{matrix} \frac{1,1+1,139+1,4}{3} \end{matrix}
Abbiamo poc’anzi introdotto il concetto di errore.
In realtà ne abbiamo parlato in modo mascherato
per tutto il tempo.
Cominciamo a masticare i concetti di errore relativo,
errore assoluto, accuratezza e precisione.
LE CIFRE SIGNIFICATIVE –
Il valore vero, l’errore, l’accuratezza e la precisione
Supponiamo di conoscere per certo il peso del
telefonino che è di 120 g (0,12 kg o 1,20 hg).
Il valore vero (Vv) sarà appunto 120 g. Pesandolo
diverse volte riscontro una media di 120,3 g che
sarà il mio valore misurato.
L’errore assoluto (Ea) = valore misurato – valore vero = 0,3
L’err. relativo (Er) = \frac{Ea}{Vv}= \frac{0,3}{120}= 0,0025
L’err. relativo % (Er%)= \frac{Ea}{Vv} · (100)= 0,25%
Cosa abbiamo fatto? Più è piccolo l’errore assoluto, maggiore è l’accuratezza. Più l’errore relativo tende
ad 0, e maggiore sarà l’accuratezza.
Poniamo un altro caso. Si disponde di un set
di dati che per semplicità non esplicitiamo la
dimensione:
0,11(0,03) // 0,08(0,02)
Significa 0,11 più o meno 0,03
0,08 più o meno 0,02
In prantica, abbiamo il valore medio associato
all’errore assoluto. Come facciamo la media?
\small \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\begin{matrix} \frac{0,11+0,08}{2}\pm \sqrt{(0,03)^{2}+(0,02)^{2}}\\ \\0,095\pm 0,036\\ \end{matrix}
Quindi, il valore medio ha un suo errore
assoluto che è la propagazione degli errori
assoluti delle distinte misure.
L’accuratezza e la precisione
L’accuratezza esprime la capacità di uno strumento
di dare sempre valori coerenti fra loro, indipendentemente se questi sono attinenti al valore vero.
La precisione, invece, è la capacità di uno
strumento di dare sempre valori vicini al valore
vero indipendentemente se questi valori sono
simili fra loro.
Un annaffiatoio da giardino spazzerà sempre un
perimetro circolare, è affidabile. Tuttavia, ogni
perimetro bagnato di giardino non sarà mai
sovrapponibile al precedente: non è preciso.
Una stampante ad aghi su un carrello mobile
bucherà la cintura di cuoio sempre un po’ prima
ed un po’ dopo i target: è precisa perché rimane
vicino al valore vero, ma non è affidabile perché
non sbaglia mai della stessa misura.
Idealmente, si predilige uno strumento che sia
accurato che preciso.